מחשבון משוואות

לפתרון מערכת משוואות ליניאריות יש מספר שיטות נפוצות:
1. שיטת ההצבה: מבודדים משתנה אחד במשוואה אחת ומציבים בשנייה.
2. שיטת החיבור/החיסור: כופלים את המשוואות במספרים מתאימים כך שבחיבור או חיסור שלהן ייעלם אחד המשתנים.
3. שיטת המטריצות: מייצגים את המערכת כמטריצה ופותרים באמצעות אלימינציית גאוס או כלל קרמר.
4. שיטת הדטרמיננטות: מחשבים את הפתרון באמצעות דטרמיננטות.
לדוגמה, במערכת {2x + 3y = 7, 4x – y = 5}, בשיטת ההצבה נקבל x = 2 ו-y = 1.

שורש אמיתי (או ממשי) הוא פתרון למשוואה שהוא מספר ממשי, כלומר מספר שניתן למקם על ציר המספרים. לעומת זאת, שורש מדומה (או מרוכב) הוא פתרון שמכיל את היחידה המדומה i (שורש ריבועי של -1).

למשל, למשוואה x² + 1 = 0 אין שורשים ממשיים, אך יש לה שני שורשים מרוכבים: x = i ו-x = -i. לעומת זאת, למשוואה x² – 4 = 0 יש שני שורשים ממשיים: x = 2 ו-x = -2.

במשוואה ריבועית ax² + bx + c = 0, סימן הדיסקרימיננטה (b² – 4ac) קובע את סוג השורשים:
– אם b² – 4ac > 0, יש שני שורשים ממשיים שונים.
– אם b² – 4ac = 0, יש שורש ממשי כפול.
– אם b² – 4ac < 0, יש שני שורשים מרוכבים צמודים.

פתרון משוואה מעריכית דורש הבנה של תכונות הפונקציה המעריכית. הנה השיטות העיקריות:

1. השוואת בסיסים זהים: אם המשוואה בצורה a^x = a^y, אז x = y.
2. לקיחת לוגריתמים: למשוואה בצורה a^x = b, מפעילים לוגריתם בבסיס כלשהו על שני האגפים. למשל, log(a^x) = log(b), ואז x·log(a) = log(b), ולבסוף x = log(b)/log(a).
3. שימוש בשקילויות: אם a^x = a^y, אז x = y (בהנחה ש-a > 0 ו-a ≠ 1).

לדוגמה, לפתרון 2^x = 8, נקח לוגריתם בבסיס 2 בשני האגפים: log₂(2^x) = log₂(8), ונקבל x = log₂(8) = log₂(2^3) = 3.

לפתרון משוואות לוגריתמיות, יש מספר שיטות:

1. שימוש בהגדרת הלוגריתם: אם log₍ₐ₎(x) = b, אז x = a^b.
2. שימוש בחוקי לוגריתמים: כמו log₍ₐ₎(xy) = log₍ₐ₎(x) + log₍ₐ₎(y) ו-log₍ₐ₎(x^n) = n·log₍ₐ₎(x).
3. העברה לצורה סטנדרטית: להביא את כל הלוגריתמים לאותו צד ולאותו בסיס.

לדוגמה, לפתרון log₍₁₀₎(x) + log₍₁₀₎(x+3) = 1, נשתמש בחוק הלוגריתמים: log₍₁₀₎(x(x+3)) = 1, ולכן x(x+3) = 10^1 = 10. מפתחים: x² + 3x = 10, או x² + 3x – 10 = 0. נפתור באמצעות נוסחת השורשים ונקבל x = 2 (כי x = -5 לא מתאים מכיוון שלוגריתם מוגדר רק עבור מספרים חיוביים).

קיים קשר ישיר בין שורשי משוואה ריבועית ax² + bx + c = 0 לבין המקדמים שלה. אם נסמן את השורשים ב-r ו-s, אז:

1. סכום השורשים: r + s = -b/a.
2. מכפלת השורשים: r·s = c/a.

קשרים אלו נובעים מפירוק המשוואה לצורת a(x – r)(x – s) = 0, שניתן לפתוח ל-ax² – a(r+s)x + a·r·s = 0. מהשוואת המקדמים לצורה המקורית, מקבלים את היחסים הללו.

קשרים אלו שימושיים מאוד ביצירה ופתרון של משוואות ריבועיות, ובמציאת קשרים בין פונקציות סימטריות של השורשים.

משוואות פרמטריות הן משוואות המכילות פרמטר (או מספר פרמטרים), שהוא קבוע לא ידוע. הפתרון של משוואה פרמטרית תלוי בערך הפרמטר.

לדוגמה, במשוואה x² + ax + 1 = 0, הפרמטר הוא a. הפתרון יהיה תלוי בערך של a:
– לפי נוסחת השורשים, x = [-a ± √(a² – 4)] / 2.
– הדיסקרימיננטה היא a² – 4, לכן:
* אם a² – 4 > 0 (למשל a = 3), יש שני שורשים ממשיים שונים.
* אם a² – 4 = 0 (כלומר a = ±2), יש שורש ממשי כפול.
* אם a² – 4 < 0 (למשל a = 1), יש שני שורשים מרוכבים צמודים.

פתרון משוואות פרמטריות יכול לכלול:
1. מציאת ערכי הפרמטר שעבורם למשוואה יש פתרון יחיד/כפול/אינסוף פתרונות/אין פתרון.
2. מציאת פתרונות כפונקציה של הפרמטר.
3. מציאת ערכי הפרמטר שעבורם הפתרונות מקיימים תנאים מסוימים.

מערכת משוואות היא קבוצה של שתיים או יותר משוואות שיש לפתור במקביל, כאשר הפתרון צריך לקיים את כל המשוואות בו-זמנית. באופן דומה, מערכת אי-שוויונים היא קבוצה של אי-שוויונים שיש למצוא את קבוצת הערכים שמקיימים את כולם.

לדוגמה, המערכת:
{
x + y = 5
2x – y = 1
}

מאפשרת למצוא ערכים ספציפיים של x ו-y שמקיימים את שתי המשוואות. בפתרון נקבל x = 2 ו-y = 3.

לעומת זאת, במערכת אי-שוויונים כמו:
{
x + y ≤ 6
x ≥ 0
y ≥ 0
}

הפתרון הוא אזור במישור – משולש שקודקודיו ב-(0,0), (6,0) ו-(0,6).

לפתרון מערכות משוואות ואי-שוויונים משתמשים בשיטות כמו:
1. הצבה, חיבור והחסרה (למשוואות ליניאריות).
2. פתרון גרפי – מציאת נקודות חיתוך או אזורים משותפים.
3. שיטות מטריציאליות לגרסאות מורכבות.